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Würfel-Mathematik: Von D6 bis D20
Ob Standard-Würfel beim Monopoly, W20 in Dungeons & Dragons oder digitale Würfel in Gaming-Apps – die Mathematik hinter Würfeln ist faszinierend und für viele Anwendungen essentiell.
Würfel in Mathematik & Gaming
Würfel sind mehr als Spielzeug: Sie sind perfekte Zufallsgeneratoren, die auf platonischen Körpern basieren (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder). Diese geometrischen Formen garantieren Fairness durch ihre perfekte Symmetrie. In der Mathematik dienen sie als anschauliche Beispiele für diskrete Gleichverteilungen.
In diesem Artikel lernst du:
- •Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Standard-Würfeln (W6)
- •Mathematik bei mehreren Würfeln (Summen, Produkte, Kombinationen)
- •RPG-Würfel: W4, W8, W10, W12, W20, W100 und ihre Geometrie
- •Fairness-Tests für Würfel (Chi-Quadrat, Schwimmtest)
- •Digitale vs. physische Würfel: PRNGs vs. echte Zufälligkeit
Der Standard-Würfel (W6)
Diskrete Gleichverteilung
Ein fairer sechsseitiger Würfel folgt einer diskreten Gleichverteilung mit 6 gleichwahrscheinlichen Ausgängen:
P(X = k) = 1/6 ≈ 16,67% für jedes k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Erwartungswert: E(X) = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5
Varianz: Var(X) = E(X²) - E(X)² = 35/12 ≈ 2,92
Standardabweichung: σ = √2,92 ≈ 1,71
Wahrscheinlichkeitstabelle W6
| Augenzahl | Wahrscheinlichkeit | In Prozent | Erwartet bei 600 Würfen |
|---|---|---|---|
| ⚀ (1) | 1/6 | 16,67% | 100× |
| ⚁ (2) | 1/6 | 16,67% | 100× |
| ⚂ (3) | 1/6 | 16,67% | 100× |
| ⚃ (4) | 1/6 | 16,67% | 100× |
| ⚄ (5) | 1/6 | 16,67% | 100× |
| ⚅ (6) | 1/6 | 16,67% | 100× |
Mathematik bei mehreren Würfeln
Zwei Würfel: Summenverteilung
Bei zwei W6 reicht die Summe von 2 (1+1) bis 12 (6+6). Aber: Diese Summen sind NICHT gleichverteilt!Manche Summen können durch mehr Kombinationen erreicht werden:
| Summe | Kombinationen | Anzahl | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|
| 2 | (1,1) | 1 | 2,78% |
| 3 | (1,2), (2,1) | 2 | 5,56% |
| 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | 8,33% |
| 5 | (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) | 4 | 11,11% |
| 6 | (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) | 5 | 13,89% |
| 7 | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 | 16,67% |
| 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | 13,89% |
| 9 | (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) | 4 | 11,11% |
| 10 | (4,6), (5,5), (6,4) | 3 | 8,33% |
| 11 | (5,6), (6,5) | 2 | 5,56% |
| 12 | (6,6) | 1 | 2,78% |
Wichtig: Die Summe 7 ist am wahrscheinlichsten (16,67% = 6/36). Das ist der Grund, warum in vielen Brettspielen (z.B. Siedler von Catan) die 7 eine besondere Bedeutung hat!
Erwartungswert bei mehreren Würfeln
1× W6: E(X) = 3,5
2× W6: E(X₁ + X₂) = 3,5 + 3,5 = 7,0
3× W6: E(X₁ + X₂ + X₃) = 3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5
n× W6: E(Summe) = n × 3,5
RPG-Würfel: W4, W8, W10, W12, W20, W100
In Pen & Paper Rollenspielen (Dungeons & Dragons, Pathfinder, Call of Cthulhu) werden spezielle Würfel genutzt, die auf platonischen und archimedischen Körpern basieren:
W4 – Tetraeder
4 Seiten | 4 dreieckige Flächen
Geometrie: Platonischer Körper mit 4 gleichseitigen Dreiecken
P(X = k): 1/4 = 25% für k in [1,2,3,4]
E(X): 2,5 | Var(X): 1,25
Verwendung in RPGs: Kleine Schadensw ürfe (Dolch: 1W4), Caltrops, Magic Missile
W6 – Hexaeder (Würfel)
6 Seiten | 6 quadratische Flächen
Geometrie: Platonischer Körper, bekannteste Würfelform
P(X = k): 1/6 ≈ 16,67% für k in [1,...,6]
E(X): 3,5 | Var(X): 2,92
Verwendung: Standard in allen RPGs, Fireball (8W6), Sneak Attack, Brettspiele
W8 – Oktaeder
8 Seiten | 8 dreieckige Flächen
Geometrie: Platonischer Körper (Doppelpyramide)
P(X = k): 1/8 = 12,5% für k in [1,...,8]
E(X): 4,5 | Var(X): 5,25
Verwendung: Langschwert (1W8), Longsword, Crossbow
W10 – Pentagonales Trapezoeder
10 Seiten | oft 0-9 beschriftet
Geometrie: Archimedischer Körper mit Drachenvierecken
P(X = k): 1/10 = 10% für k in [0,...,9] oder [1,...,10]
E(X): 5,5 (bei 1-10) | Var(X): 8,25
Verwendung: Prozentwürfe (2× W10), Polearm, Greataxe
W12 – Dodekaeder
12 Seiten | 12 fünfeckige Flächen
Geometrie: Platonischer Körper (Pentagone)
P(X = k): 1/12 ≈ 8,33% für k in [1,...,12]
E(X): 6,5 | Var(X): 11,92
Verwendung: Barbarian Hit Die, Greataxe (1W12), Polymorphs
W20 – Ikosaeder
20 Seiten | Das ikonische D&D-Symbol
Geometrie: Platonischer Körper (20 Dreiecke)
P(X = k): 1/20 = 5% für k in [1,...,20]
E(X): 10,5 | Var(X): 33,25
Verwendung: Alle Aktionswürfe in D&D 5e, Critical Hits (nat. 20), Critical Fails (nat. 1)
W100 (Perzentil-Würfel)
Ein W100 wird durch zwei W10 simuliert: Ein Würfel zeigt die Zehnerstelle (00, 10, 20, ..., 90), der andere die Einerstelle (0-9). Kombiniert ergibt das Zahlen von 1-100 (wobei 00 + 0 oft als 100 gewertet wird).
Verwendung: Call of Cthulhu (Skill-Checks), Warhammer RPG, Loot-Tabellen
Fairness-Tests für Würfel
1. Chi-Quadrat-Test
Der statistische Standardtest zur Überprüfung der Gleichverteilung:
Vorgehen:
- 1. Würfel 600× (oder mehr) würfeln
- 2. Häufigkeiten zählen (bei W6: wie oft 1, 2, 3, 4, 5, 6?)
- 3. Erwartete Häufigkeit: 600/6 = 100 pro Zahl
- 4. Teststatistik berechnen: χ² = Σ [(O - E)² / E]
- 5. Mit kritischem Wert vergleichen: χ²krit = 11,07 (bei α=0,05, df=5)
- 6. Wenn χ² < 11,07 → Würfel ist fair ✓
2. Schwimmtest (Salzwasser-Methode)
Teste, ob die Massenverteilung des Würfels homogen ist:
- 1. Gesättigte Salzlösung herstellen (so viel Salz ins Wasser, bis nichts mehr löst)
- 2. Würfel in die Lösung legen (er schwimmt aufgrund der hohen Dichte)
- 3. Würfel mehrmals "würfeln" (anstoßen, drehen) und Orientierung beobachten
- 4. Fairer Würfel: Zufällige Orientierung bei jedem Wurf
- 5. Unfairer Würfel: Tendiert immer zur gleichen Seite → Massenungleichgewicht
Hinweis: Dieser Test ist schnell, aber nicht so präzise wie Chi-Quadrat-Tests mit vielen Würfen.
3. Elektronische Würfel (Pixels Dice)
Moderne elektronische Würfel wie Pixels Dice haben eingebaute Sensoren (Beschleunigungsmesser), die jedes Wurfergebnis via Bluetooth an eine App übertragen. Die App loggt alle Ergebnisse und führt automatisch statistische Tests durch. Ideal für Turniere und Online-Spiele, wo Fairness kritisch ist.
Digitale vs. Physische Würfel
✓ Physische Würfel (TRNGs)
- +Echte Zufälligkeit: Chaotische Physik (Luftwiderstand, Oberfläche, Rotation) erzeugt True Random Numbers
- +Haptik: Das Gefühl, Würfel zu rollen, ist Teil des Spielerlebnisses
- -Herstellungsfehler: Luftblasen, unsymmetrische Gravuren können Bias verursachen
- -Manipulierbar: Gezinkte Würfel (weighted dice) möglich
- -Langsam: Manuelles Würfeln und Zählen bei vielen Würfen (10W6 Fireball)
✓ Digitale Würfel (PRNGs)
- +Perfekte Gleichverteilung: PRNGs wie Math.random() haben keinen Herstellungs-Bias
- +Schnell: Sofortige Ergebnisse, auch bei 100× W6
- +Automatische Summen: Software berechnet Summen, Modifikatoren, Advantage/Disadvantage
- -Pseudozufall: Deterministisch (gleicher Seed → gleiche Sequenz)
- -Vertrauensproblem: Spieler müssen dem Generator/Server vertrauen (keine Manipulation?)
- ~Lösung: VTTs wie Roll20 nutzen CSPRNGs (crypto.getRandomValues()) für vertrauenswürdige Würfe
Digitale Würfel ausprobieren
Von W4 bis W100 – alle RPG-Würfel digital simuliert
Unser Würfel-Generator nutzt Math.random() für faire Gleichverteilung. Perfekt für D&D, Pathfinder, Call of Cthulhu und alle Pen & Paper Spiele. Würfle einzeln oder kombiniere mehrere Würfel (z.B. 3W6 + 2W8).
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