Quadratzahlen
Vollständige Tabellen bis 1000, Lerntricks zum Auswendiglernen & interaktiver Rechner. Von Grundschule bis Abitur.
Quadratzahl-Prüfer
Quadratzahlen-Generator
Max: 100
Visuelle Erklärung: Warum "Quadrat"zahlen?
Quadratzahlen heißen so, weil sie sich als perfekte Quadrate anordnen lassen:
3 × 3 = 9 Einheiten
4 × 4 = 16 Einheiten
5 × 5 = 25 Einheiten
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Was ist eine Quadratzahl?
Eine Quadratzahl (auch Quadratzahl oder perfektes Quadrat genannt) entsteht, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert. Mathematisch: n² = n × n
Beispiele
- 1² = 1 × 1 = 1
- 5² = 5 × 5 = 25
- 10² = 10 × 10 = 100
- 12² = 12 × 12 = 144
Keine Quadratzahlen
- 2 (keine Wurzel als ganze Zahl)
- 7 (√7 ≈ 2,645...)
- 50 (√50 ≈ 7,071...)
- 99 (liegt zwischen 9² und 10²)
Eselsbrücken & Tricks zum Auswendiglernen
🎯 Trick 1: Endziffern-Regel
Quadratzahlen enden niemals auf 2, 3, 7 oder 8. Sie enden nur auf:
Schnelltest: Endet eine Zahl auf 3 oder 7? Dann ist sie keine Quadratzahl!
📐 Trick 2: Zahlen auf 5
Für Zahlen, die auf 5 enden, gibt es eine einfache Formel:
Beispiel: 15² = (1×2)×100 + 25 = 225
Beispiel: 25² = (2×3)×100 + 25 = 625
➕ Trick 3: Ungerade Differenzen
Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist immer ungerade:
- 4 - 1 = 3
- 9 - 4 = 5
- 16 - 9 = 7
- 25 - 16 = 9
Das Muster: 3, 5, 7, 9, 11, 13...
🧠 Trick 4: Eselsbrücke Gruppen
Lerne in kleinen Gruppen von 5:
- 1-5: Grundlagen (1, 4, 9, 16, 25)
- 6-10: Alltag (36, 49, 64, 81, 100)
- 11-15: Palindrome (121!)
- 16-20: Höhere Mathematik
Quadratzahlen bis 20
Die wichtigsten 20 Quadratzahlen zum Auswendiglernen:
| Basis (n) | Rechnung | Quadratzahl (n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 | 1 |
| 2 | 2 × 2 | 4 |
| 3 | 3 × 3 | 9 |
| 4 | 4 × 4 | 16 |
| 5 | 5 × 5 | 25 |
| 6 | 6 × 6 | 36 |
| 7 | 7 × 7 | 49 |
| 8 | 8 × 8 | 64 |
| 9 | 9 × 9 | 81 |
| 10 | 10 × 10 | 100 |
| 11 | 11 × 11 | 121 |
| 12 | 12 × 12 | 144 |
| 13 | 13 × 13 | 169 |
| 14 | 14 × 14 | 196 |
| 15 | 15 × 15 | 225 |
| 16 | 16 × 16 | 256 |
| 17 | 17 × 17 | 289 |
| 18 | 18 × 18 | 324 |
| 19 | 19 × 19 | 361 |
| 20 | 20 × 20 | 400 |
Quadratzahlen bis 25
Erweitert: Alle 25 Quadratzahlen für fortgeschrittene Schüler:
- 1²1
- 2²4
- 3²9
- 4²16
- 5²25
- 6²36
- 7²49
- 8²64
- 9²81
- 10²100
- 11²121
- 12²144
- 13²169
- 14²196
- 15²225
- 16²256
- 17²289
- 18²324
- 19²361
- 20²400
- 21²441
- 22²484
- 23²529
- 24²576
- 25²625
Alle Quadratzahlen bis 100
Es gibt genau 10 Quadratzahlen, die kleiner oder gleich 100 sind:
- 1²1
- 2²4
- 3²9
- 4²16
- 5²25
- 6²36
- 7²49
- 8²64
- 9²81
- 10²100
Häufig gesucht: Was ist die Quadratzahl von...?
Erweiterte Tabellen
📊 Quadratzahlen bis 100 (vollständige Liste)▼
📊 Quadratzahlen bis 400 (1² bis 20²)▼
Siehe Tabelle "Quadratzahlen bis 20" oben für alle Werte von 1 bis 400.
Mathematische Eigenschaften
1. Summe von Quadratzahlen
Die Summe der ersten n Quadratzahlen lässt sich mit einer eleganten Formel berechnen:
1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1) / 6
Beispiel: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5 × 6 × 11 / 6 = 55
2. Differenz aufeinanderfolgender Quadratzahlen
Ein faszinierendes Muster: Die Differenz zwischen (n+1)² und n² ist immer 2n + 1 (eine ungerade Zahl):
- (n+1)² - n² = 2n + 1
- Beispiel: 5² - 4² = 25 - 16 = 9 = 2(4) + 1
3. Summe zweier Quadratzahlen
Manche Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadratzahlen schreiben, andere nicht:
- Ja: 5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3², 50 = 1² + 7²
- Nein: 3, 6, 7, 11, 15 (können nicht als Summe zweier Quadrate dargestellt werden)
4. Pythagoräische Tripel
Der berühmte Satz des Pythagoras nutzt Quadratzahlen: a² + b² = c²
Beispiel: 3-4-5-Dreieck
3² + 4² = 5² → 9 + 16 = 25 ✓
Anwendungen im Alltag
🏠 Flächenberechnung
Ein quadratisches Grundstück mit 10 m Seitenlänge: Fläche = 10² = 100 m²
🎮 Schachbrett
Ein Schachbrett hat 8 × 8 = 8² = 64 Felder
📐 Bauingenieurwesen
Statische Berechnungen nutzen Quadratzahlen für Kräfte und Spannungen.
💻 Computergrafik
Bildschirmauflösungen: 1920 × 1080 Pixel, Quadratische Texturen mit Seitenlängen als Zweierpotenzen (256², 512²)
Geschichte der Quadratzahlen
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