Fibonacci-Zahlen
Von antiken Kaninchen zum Goldenen Schnitt. Entdecken Sie die Mathematik hinter Natur, Kunst und Börse.
Fibonacci-Generator
Der Goldene Schnitt (φ)
Je weiter man in der Fibonacci-Folge fortschreitet, desto näher kommt das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen dem Goldenen Schnitt:
Berechnung: φ = (1 + √5) / 2
Das Rekursionsprinzip
Jede Fibonacci-Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen:
Rekursive Definition der Fibonacci-Folge
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Was ist die Fibonacci-Folge?
Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Zahlenfolge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen ist:
Start: F(0) = 0, F(1) = 1
- 0
- 1
- 1
- 2
- 3
- 5
- 8
- 13
- 21
- 34
- 55
- 89
- ...
📖 Historischer Ursprung
Leonardo Fibonacci stellte 1202 im Buch "Liber Abaci" ein Kaninchen-Vermehrungsproblem: Wie viele Paare entstehen in 12 Monaten?
🔢 Binet-Formel
F(n) = (φⁿ - (-φ)⁻ⁿ) / √5
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
Häufig gesucht: Fibonacci-Werte
Wichtige Fibonacci-Fakten:
- Wie lauten die ersten 10 Fibonacci-Zahlen?Die ersten zehn Zahlen sind: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
- Was ist der Goldene Schnitt in der Folge?Teilt man eine Zahl durch ihren Vorgänger (z.B. 89/55), nähert sich das Ergebnis dem Wert 1,618 (φ) an.
- Gibt es negative Fibonacci-Zahlen?Ja, die Folge lässt sich rückwärts fortsetzen (Nega-Fibonacci), wobei F(-n) = (-1)^(n+1) * F(n) gilt.
Fibonacci-Zahlen Tabelle (F(0) bis F(19))
| Index (n) | F(n) | Berechnung | Verhältnis F(n)/F(n-1) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | Start | — |
| 1 | 1 | Start | — |
| 2 | 1 | 1 + 0 | 1.000000 |
| 3 | 2 | 1 + 1 | 2.000000 |
| 4 | 3 | 2 + 1 | 1.500000 |
| 5 | 5 | 3 + 2 | 1.666667 |
| 6 | 8 | 5 + 3 | 1.600000 |
| 7 | 13 | 8 + 5 | 1.625000 |
| 8 | 21 | 13 + 8 | 1.615385 |
| 9 | 34 | 21 + 13 | 1.619048 |
| 10 | 55 | 34 + 21 | 1.617647 |
| 11 | 89 | 55 + 34 | 1.618182 |
| 12 | 144 | 89 + 55 | 1.617978 |
| 13 | 233 | 144 + 89 | 1.618056 |
| 14 | 377 | 233 + 144 | 1.618026 |
| 15 | 610 | 377 + 233 | 1.618037 |
| 16 | 987 | 610 + 377 | 1.618033 |
| 17 | 1597 | 987 + 610 | 1.618034 |
| 18 | 2584 | 1597 + 987 | 1.618034 |
| 19 | 4181 | 2584 + 1597 | 1.618034 |
Der Goldene Schnitt (φ)
Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an:
Der "göttliche" Proportion in Kunst, Architektur & Natur
Fibonacci in der Natur
🌻 Sonnenblumen
Kerne sind in zwei gegenläufigen Spiralen angeordnet: 55 und 89 (beide Fibonacci-Zahlen).
Optimale Packung für maximale Samenanzahl!
🌲 Tannenzapfen
Schuppen bilden Spiralen in 8 und 13 Richtungen (Fibonacci!).
Effizienz der Natur sichtbar gemacht
🌸 Blütenblätter
Lilien: 3, Butterblumen: 5, Gänseblümchen: 34, Margeriten: 21 oder 34.
Verhindert Überlappung, maximiert Lichteinfall
🐝 Bienen-Stammbaum
Männliche Bienen haben 1 Elternteil, weibliche 2. Aufwärts folgt der Stammbaum der Fibonacci-Folge!
Anwendungen & Bedeutung
1. Börsenhandel & Technische Analyse
Trader nutzen Fibonacci-Retracements (23.6%, 38.2%, 61.8%) um Widerstands- und Unterstützungsniveaus zu identifizieren.
2. Informatik & Algorithmen
Fibonacci-Zahlen veranschaulichen Rekursion in der Programmierung. Auch Suchbäume und Fibonacci-Heaps nutzen dieses Konzept.
3. Musik & Komposition
Komponisten wie Béla Bartók nutzten Fibonacci-Proportionen für Taktanzahlen und Strukturen (z.B. 8, 13, 21 Takte).
4. Design & Architektur
Das Goldene Rechteck (Seitenverhältnis φ) wird in Logos, Webdesign (Twitter, Pepsi) und Gebäuden verwendet.
Geschichte
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