Arithmetische Summen
Dreieckszahlen
Von Gauß' Trick bis zu modernen Anwendungen. Die Summe aufeinanderfolgender Zahlen verstehen.
Dreieckszahl-Prüfer
Dreieckszahlen-Generator
Max: 50
Anzeige
Was ist eine Dreieckszahl?
Eine Dreieckszahl T(n) ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen:
T(n) = n(n+1)/2
Die Gaußsche Summenformel
- T(1)1
- T(2)3
- T(3)6
- T(4)10
- T(5)15
- T(6)21
🎓 Die Gauß-Geschichte
Carl Friedrich Gauß erkannte als Schüler: Um 1 bis 100 zu addieren, bilde Paare (1+100, 2+99...). 50 Paare × 101 = 5050 = T(100).
🔺 Warum "Dreieck"?
Man kann T(n) als Dreieck aus Punkten darstellen: 1 Punkt oben, 2 in Reihe 2, 3 in Reihe 3, etc.
Häufig gesuchte Dreieckszahlen
Was ist T(1)?
1
Start der Folge.
Was ist T(4)?
10
Summe von 1+2+3+4.
Was ist T(10)?
55
Beliebter Hausaufgaben-Wert.
Was ist T(20)?
210
Genutzt in der Kombinatorik.
Was ist T(50)?
1275
Gauß-Trick Anwendung.
Was ist T(100)?
5050
Das berühmte Gauß-Rätsel.
Schnelle Fakten
- Was ist die Summe der Zahlen 1 bis 100?Das Ergebnis ist genau 5050. Es entspricht der 100. Dreieckszahl T(100).
- Ist jede Dreieckszahl ein Vielfaches von 3?Nein. Zum Beispiel ist T(1)=1 oder T(2)=3. Dreieckszahlen folgen einem Muster bei der Teilbarkeit, sind aber nicht alle durch 3 teilbar.
- Wie hängen Dreieckszahlen und Quadratzahlen zusammen?Addiert man zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen (T(n) + T(n-1)), erhält man immer eine Quadratzahl (n²).
Dreieckszahlen Tabelle (T(1) bis T(20))
| n | Summe (1+2+...+n) | T(n) | Formel-Check |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1×2/2 = 1 |
| 2 | 1 + 2 | 3 | 2×3/2 = 3 |
| 3 | 1 + 2 + 3 | 6 | 3×4/2 = 6 |
| 4 | 1 + 2 + 3 + 4 | 10 | 4×5/2 = 10 |
| 5 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 | 15 | 5×6/2 = 15 |
| 6 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 | 21 | 6×7/2 = 21 |
| 7 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 | 28 | 7×8/2 = 28 |
| 8 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 | 36 | 8×9/2 = 36 |
| 9 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 | 45 | 9×10/2 = 45 |
| 10 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 | 55 | 10×11/2 = 55 |
| 11 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 | 66 | 11×12/2 = 66 |
| 12 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 | 78 | 12×13/2 = 78 |
| 13 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 | 91 | 13×14/2 = 91 |
| 14 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 | 105 | 14×15/2 = 105 |
| 15 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 | 120 | 15×16/2 = 120 |
| 16 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 | 136 | 16×17/2 = 136 |
| 17 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 | 153 | 17×18/2 = 153 |
| 18 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 | 171 | 18×19/2 = 171 |
| 19 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 | 190 | 19×20/2 = 190 |
| 20 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 | 210 | 20×21/2 = 210 |
Anwendungen & Eigenschaften
1. Verbindung zu Quadratzahlen
Zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen ergeben eine Quadratzahl:
T(n) + T(n-1) = n²
Beispiel: T(5) + T(4) = 15 + 10 = 25 = 5²
2. Kombinatorik: Händeschütteln
Bei n Personen gibt es T(n-1) mögliche Händedrücke. Beispiel: 5 Personen → T(4) = 10 Paare.
3. Turnierpaarungen
In einem Round-Robin-Turnier mit n Teams gibt es T(n-1) Spiele.
Anzeige
Anzeige